میرزاخانی مدال فیلدز را برای حل معادلاتی در زمینه هندسه ریمانی گرفته بود.

▪️هندسه ریمانی ، یکی از هندسه های نااقلیدسی است که ویژگی مهم آن "خمیدگی فضا" است.

▫️ همان مثال همیشگی که دو خط موازی روی یک "صفحه مسطح" موازی هستند ، ولی این صفحه مسطح در هندسه نااقلیدسی بخش کوچکی از یک کره ی بزرگ است که اگر از بالا به او نگاه میبینیم که خیلی هم مسطح نیست و کاملا کروی است.
پس دو خط موازی مثل دو نصف النهار در قطب شمال و جنوب این کره به هم خواهند رسید و اصل توازی اقلیدس زیر سوال میرود.

▫️اما این مثال "خمیدگی سطح" را توصیف میکرد...هندسه ی ریمانی میگوید که فضا خمیده است!
خط در سطح و سطح در فضا خمیده میشود ...اما فضا کجا خمیده میشود؟
آیا منظور هندسه ریمانی این است که فضا در فضا خمیده میشود؟

▫️منظور از این خمیدگی همان خمیدگی در یک محیط با یک بعد بالاتر است.
در هندسه ریمانی فضای سه بعدی حول بعد چهارم خمیده است.

▫️در ریاضی دبیرستان با انتگرال ها کار میکردیم.
انتگرال یک عملگر ریاضی بود. کارش این بود که سطح محصور بین چند خط را محاسبه میکرد.
روش های معروف محاسبه مساحت (مثلا اینکه میگویم مساحت مربع برابر با ضلعش به توان دو است) در واقع خروجی های انتگرال هستند.

▫️اگر تعدادی خط یک بعدی به هم متصل باشند ، یک فضای دو بعدی را درون خود محصور میکنند.

▫️همینطور؛ اگر چند صفحه ی دو بعدی به هم متصل باشند هم یک فضای سه بعدی را درون خود محصور میکنند. و آن حجم توسط انتگرال های پیچیده تری بنام انتگرال دوگانه محاسبه میشد.

▪️حالا اگر چند حجم به هم متصل باشند چه چیزی را درون خود محصور میکنند؟
نمی توانیم بگوییم...
چون درک ما تا همین جاست. ما تجسم سه بعدی از فضا داریم...

▫️چشم ما از تجسم ما یک پله عقب تر است. چشم ما تصویر دو بعدی از محیط دارد. بخاطر همین است که تماشگران اولین فیلم در سینما با دیدن صحنه ی ورود قطار از سالن فرار کردند!
پرده ی سینما دو بعدی است...ولی قدرت تجسم تماشاگران بعد سوم را به آن اضافه کرد و قطار را واقعی جلوه دارد...
(در یکی از پست های قبلی درباره دلایل سه بعدی دیدن مطالبی نوشته شده بود)

▪️درست است که چشم دوبعدی و تجسم سه بعدی نمی توانند جواب سوال هندسه ی ریمانی را بدهند ، اما قدرت تعقل ما میتواند از این هم جلوتر برود...

عقل ریاضی میتواند به ابعاد بالاتر سفر کند و خبرهایی برای ما بیاورد...

▪️کار مریم میرزاخانی این بود که معادله های فضای خمیده ی ریمانی را در ابعاد بالاتر حل کرد.
البته که او تصوری از ابعاد بالاتر نداشته ولی از راه "تعمیم منطقی" یک سری قواعد، به محیط های چهاربعدی و بیشتر معادلات فضاهای خمیده را حل کرده بود.

در پست بعدی ، مثالی از یک تعمیم ساده از ابعاد پایینتر به ابعاد بالاتر آورده میشود...

پی.نوشت: تلاش برای تصور کردن یک شکل چهاربعدی کار بیهوده ایست،
ولی روش هایی برای تقریب ذهنی وجود دارد:
همانطور که ما سایه دو بعدی یک مکعب سه بعدی را در مانیتور میبینیم و فکر میکنیم مکعب است ، ریاضیدان ها (با استفاده از همان اصل تعمیم منطقی) سایه اشکال چهاربعدی را در احجام سه بعدی تولید کرده اند و گفته اند فکر کنید که این یک تسرکت (نام یک شکل چهاربعدی معروف) است.