هندسی فلسفیدن/فلسفی هندسیدن (1)

یکی از سوالات مشترک بین فلسفه و ریاضیات و علوم طبیعی ، همیشه این بوده که نمودهای طبیعی چگونه اینقدر زیبا ، متوازن و متناسب و منظم شده اند؟
طبیعت در تولید و تکثیر این نقش و نگارها خودبنیاد بوده یا به تعبیر ناصرخسرو :

آسیایی راست است که آبش از بیرون اوست...

طبیعت گرایان محض (ماتریالیست ها) به این قائلند که طبیعت در خلق و تولید این نقش ها خودبنیاد است و نیازی به نیروی بیرونی ندارد.
دیگران به آن ها ایراد میگیرند که وقتی شما میگویید طبیعت در این امر خودبنیاد است ، طبیعت را "کسی" میکنید. آن را به یک استادکار ماهری تبدیل میکنید که فکر میکند ، ایده میدهد ، و ایده هایش را با سناریوهای خاصی در طول زمان اجرا میکند، در واقع همان کاری را که فیلسوفان الهی برای خدا میکنند شما برای طبیعت میکنید در حالیکه طبیعت اگر صرفا طبیعت باشد، نه درک و ذهنی دارد و نه خلاقیت و تصمیم گیری.

به همین خاطر اگر از یک فیزیکدان معتقد به اصالت طبیعت بپرسیم که نقش و نگارهای طبیعی از کجا و چطور پیدا شده اند؟ خواهد گفت از دل "ضرورت و ناچاری" میگوید یک بلور برف "نمی تواند" زیبا و متقارن و متناسب نباشد ، زیرا مولکول های آب چاره ای ندارند جز این که با زاویه 120 درجه در کنار هم قرار بگیرند و همین باعث و بانی تقارن و تناسب در بلورهای برف میشود. پس طبیعت در تولید و تکثیر این نقش و نگارها خلاق نیست ، درک و تصوری ندارد ، مجبور است که اینطور باشد. همان زاویه 120 درجه بخاطر این است که بارالکتریکی اتم های هیدروژن و اکسیژن فقط در آن حالت متعادل میشوند.

در یک گام بالاتر تکامل گرایان و طرفداران نظریه فرگشت شکل و شمایل هر گیاه و جاندار و خزنده و پرنده ای را حاصل همین اصطکاک های طبیعی و تنازع دائمی برای بقا میدانند ، مثلا فرم بدن یک ماهی ناشی از حضور مداوم و طولانی نسل هایی از حیوانات است که در آب زیسته اند و جریان همیشگی آب بدن آن ها را مثل یک سنگ طوری صیقل داده که در فرم ماهی به تعادل رسیده است.

شاید این طرز نگاه برای توجیه ریاضی وار طبیعت جذاب به نظر برسد اما وقتی که دست شعور و ادراک را از دامن خلاقیت های طبیعی کوتاه میکند ، در مواجهه با زیبایی ها و جلوه های حیرت انگیز طبیعت نارساست.

برای مثال اگر ما انسان ها خودرویی بسازیم و در سیر تکامل و بروزرسانی مدل های آن ، فقط و فقط قدرت و کارایی و انطباق با شرایط سخت محیطی را در نظر بگیریم ، نهایتا به یک تراکتور پر قدرت یا به یک تانک جنگی ، یا ماشین تندروی فرمول یک میرسیم ، کاملا قوی ، سریع ، مانا... اما بی قواره و نامتناسب!
یک مرسدس بنز خوش تراش که در نهایت ظرافت و هنرمندی طراحی شده و حتی فرم چراغ هایش با روانشناسی چهره ی انسان متناسب شده ، چیزی بیشتر از قدرت و سرعت و دوام را میطلبد.

آیا طبیعت از سر اجبار و ناچاری بال های رنگارنگ و لطیف یک پروانه را تولید کرده؟ یا رقص هنرمندانه ی یک عروس دریایی در دل اقیانوس صرفا محصول تنازع بقای گونه های بی قواره از ماهی های ابتدایی است؟

ارسطو ، افلاطون و بسیاری از فیلسوفان یونان باستان و حکیمان حکمت خسروانی در ایران و همینطور فیلسوفان مشایی و اشراقی و صدرایی در دوره های مختلف اسلامی و بسیاری از فیلسوفان متاخر و معاصر غربی (کانت ، هگل ، دکارت و ...) طور دیگری به ماجرا نگاه میکنند و تفاوت عمده نگاه آنها به طور خلاصه در این است که سهمی از اصالت و حقیقت را برای "ذهن و شعور و ادراک و دانندگی و ذوق" کنار میگذارند.

فارغ از اینکه در تاریخ سیاسی و اجتماعی ایران در دوره صفویه چه گذشت ، میتوانیم آن دوره را دوره ی حیات دوباره ی فکر و فلسفه و هنر بدانیم...
هرچه عطار و مولوی، سعدی و حافظ ، خاقانی و نظامی و هر عارف و سالک ایرانی دیگر در قرن های گذشته به زبان احساس و شعر و عرفان سروده بودند ، در این دوره بود که میرداماد و میرفندرسکی ، شیخ بهایی و ملاصدرا و دیگر حکیمان دوره ی صفوی به زبان عقل و برهان و فلسفه گفتند.

هنر هم تماشاگر این آشتی میان عقل و عشق بود ، خردمندی های حکیمان و عاشقانه های عارفان را به زبان موسیقی و شعر یا با بیان معماری ، نمادپردازی میکرد ،تجسم میبخشید و جاودانه میکرد.

مسجد شیخ لطف الله را استاد محمدرضا اصفهانی ، در مدت 18 سال آفرید.

بسیاری معتقدند که این بنا فقط نقش یک مسجد را مانند سایر مساجد ندارد ، معمار، هنرمندانه فضایی را در آن ایجاد کرده که حتي پیروان سایر اديان و همه ی انسان ها متوجه نور الهی و عرفانی در آن شوند.

روحی ایرانی که خود را درون غارهای تاریک باستانی مخفی میکرد تا غبار عادت را از چهره نور پاک کند، کم کم در زیگورات های کالبد یافته قدم گذاشت،
کم کم چهارطاقی هایی با یک گنبد و چهار رواق ساخت ، کم کم روح توحید قرآنی را در کالبد خودش دمید ، حالا شاید بتوان گفت که این مسجد کوچک و بدون مناره در حاشیه میدان نقش جهان ، قله ای برای سیر تکامل معماری قدسی در ایران است.

افراد زیادی در نوشته های خود از این مسجد زیبا یاد کرده اند :

لوییس ای کان، در باره این مسجد نوشته است که:

من فقط در عالم خیال و با جوهری از طلا و نقره می‌توانم چنین اثری را تصور کنم.

پروفسور پوپ در کتاب "بررسی هنر ایران" چنین آورده که:

به سختی می‌توان این اثر را محصول دست بشر دانست؛ ... کوچکترین نقطه ضعفی در این بنا دیده نمی‌شود، اندازه‌ها بسیار مناسب، نقشه طرح بسیار قوی و زیبا و به طور خلاصه توافقی است بین یک دنیا شور و هیجان و یک سکوت و آرامش باشکوه که نماینده ذوق سرشار زیباشناسی بوده و منبعی جز ایمان مذهبی و الهام آسمانی نمی‌تواند داشته باشد.

در جایی دیگر گفته است:

هر کس اهل درک و انديشه عميق باشد نمي تواند وارد اين فضا شود بي آنکه تکان و احساس ناشي از رسيدن به حضور به وي دست دهد.

موسوی فريدنی در باب بازی رنگ و نور در مسجد شیخ لطف الله در کتاب "اصفهان از نگاهی ديگر" نوشته است:

آن آدم ها مگر زندگی را چقدر رنگارنگ و پر عشوه مي ديده اند!

دکتر محمد علي اسلامي ندوشن در توصیف شبستان مسجد نوشته است:

...آنگاه خود شبستان مي آيد که زيبايي و آراستگي نازنينش را با نور ملايم نوازش کننده اي مینماید، در عين عبادت گاه بودن، آن را شبيه حجله گاهي مي کند، و در زير اين طاق مدور هوش ربا، و در آغوش رنگ ها و نگارها ومنحني ها و زاويه ها و حرير نور، اين احساس دوگانه ی خواهش خاکي و عروج آسماني به هم آميخته مي شوند حالتي که تنها نظيرش را در شعر حافظ مي توان يافت.

از هر طرف که به او نگاه کنیم ، شکل تازه ای می بینیم ، یک بنا ساخته شده ولی صدها نمای مختلف را به وجود آورده.
از روبرو ، از کناره ها ، از دور ، نزدیک ، اگر از زیر به او نگاه کنیم ، یا از بالا ، از دید پرنده ، یا از داخل....
به "او" نه به "آن"! چون این بنا برای خودش کسی است...شخصیتی دارد.

وقتی نزدیکش برویم ٬ مثل یک کتاب باز میشود و هر ورقش را میشود جداگانه خواند...

باید نمادی از دروازه تمدن ایرانی باشد ، پس منحنی طاق میانی اش شبیه قوس طاق باشکوه کسری است. و هم نماد همه تمدن ایرانی در همه دوران هاست . پس ▫️شبیه دروازه قرآن شیراز، قوسی محاط در یک مربع هم هست است. ▫️یا شبیه همه دروازه هایی که ایرانیان رو به جهان معنوی خودشان باز کرده اند، ٬«رواقی» است با یک گوشه ی تیز ، که آسمانی از کاشی بالای سر رهگذران دارد.

باید کوتاه می بوده -چون نزدیک فرودگاه است- ولی بازوانش را باز کرده و با فرم مثلثی روی زمین گذاشته تا پایدار و مقتدر و با صلابت باشد. ▫️شبیه دماوند است...
نزدیکش که بایستی ، خطوطی که موازی به نظر می آیند -ولی موازی نیستند- قله این کوه را دورتر از چیزی که هست به نظر می آورند.

چهار پایه روی زمین است -که چهار دروازه به اطراف دارند -▫️ چهارطاقی ایرانی هم هست....

بنا در نهایت تناسب است ، تمام مرزهایش در چهار مربع مساوی ، محاط میشوند.
در نهایت تقارن هم هست، هم تقارن محوری (در راستای عمودی) و هم تقارن مرکزی (حول شمسه ای که در مرکز کار شده و فقط از بالا و زیر دیده میشود)
معماری اش پست مدرن است ، قبول ، ولی قرار است نماد ایران باشد ، تقارن همه جای معماری ایران بوده ، پس اینجا هم هست...

سطوح با لوزی ها و شش ضلعی های متناسب ولی غیر هم اندازه پوشیده شده اند، همانطور که زمینه ی میدان با شش ضلعی های متحدالمرکز افراز شده اند. که وقتی به کانون نزدیک میشویم ناپدید میشوند و جای خودشان را به اتفاق مهمی میدهند که در کانون افتاده است. همان اتفاقی که در کانون همه ی گنبد های ایرانی (مخصوصا گنبد شیخ لطف الله اصفهان ) افتاده.
جالب اینکه گنبدی هم در دل این بنا مخفی شده که فقط از داخل دیده میشود. از بیرون یک منشور بلند داریم که بالای جداره هایش پنجره هایی هست...▫️این بادگیر ایرانی ست...عمارت باغ دولت آباد یزد..

خطوطی موازی نما که روی بنا ارتفاع گرفته اند ، روی سطح زمین و زیر پای برج «تصویر» شده اند، یک تصویر دوبعدی است از جهان سه بعدی برج! ....

حکیم مازندرانی میرفندرسکی سروده است:

چرخ با این اختران نغز و خوش و زیباستی
صورتی در زیر دارد آن چه در بالاستی

صورت زیرین اگر با نردبان معرفت
بر رود بالا ، همان با اصل خود همتاستی

این دو بیت را هنرمندان٬ فرش کردند و زیر گنبد شیخ لطف الله انداختند ، امانت هم (دانسته یا ندانسته) کفسازی کرد و زیر پای برج شهیاد پهن کرد.

میدان بزرگ و سرسبز را چهار مسیر متعامد قطع میکنند ، که یکی از همه بزرگتر و بلند تر است ، و آنکه روبروی این شاهراه است از همه کوتاه تر و باریک تر ، مسیر آب هم در دل شاهراه یک قدم قبل از عمارت به یک حوض بزرگ میرسد که آیینه ای است برای که این عمارت خودش را در آن ببیند ...▫️ این باغ ایرانی است. چهلستون اصفهان است. یا شاهزاده ماهان کرمان.

اما بجای جویبار ممتدی که در باغ ایرانی هست ، چشمه هایی در فواصل مشخص از هم ناپدید و پدیدار میشوند. ▫️این قنات ایرانی است.

میدان به شکل جسورانه ای بزرگ و پهناور است. طوریکه یکی از بزرگترین میدان های جهان به حساب می آید. با فرم کلی مستطیل▫️این نقش جهان اصفهان است. میدان یک پایتخت ایرانی است.

داخل بنا که برویم ، تاریک است و سرپوشیده ، ولی روزنه هایی از در و دیوار نور را به صورت متمرکز به داخل می آورند ، طوری که در دل آن تاریکی لکه های نور در فواصل مساوی روی مسیر می افتند ،▫️ این بازار ایرانی است.

با چرخش خورشید در طول روز ، سطوح شکسته که با هم زاویه دارند ، سایه های مختلفی را می سازند ، این هم برج را بنای هزار نما میکند.

با اینکه نام برج و فسلفه ساختنش شهیاد بوده است و معمارش یک بهایی ِ ایرانی-کانادایی است ولی آنقدر اصالت داشت و خودش را طوری اثبات میکرده که در انقلاب کسی حس دشمنی به او پیدا نکرد و یکی از نمادهای انقلاب هم شد!

گفته میشود که خوشنویسی به معنای واقعی هنر نیست. چون خلاقیت و آفرینندگی کمتری نسبت به سایر هنرها دارد.

خوشنویس مثل نوازنده هست و مثل آهنگساز نیست.
دو نوازنده ممکن است یک قطعه را شبیه هم بنوازند ولی هیچ وقت دو آهنگساز ، دو آهنگ همانند را بیخبر از هم خلق نمیکنند.

خوشنویسان (به معنای خوشنویسان سنتی) همیشه نوازنده بوده اند ،
چون مجری بی چون و چرای قواعد نسبتا خشکی هستند که از پیش تعیین شده.

ولی اگر تمام قصه همین باشد ، این سوال بی جواب می ماند که این راه دراز از خطوط شکسته و بی روح ابتدایی تا پیچ و تاب دلربای نستعلیق را چه کسی رفته است؟
کسانی در این تاریخ بوده اند که شیوه ها و نقش ها را از هیچ خلق کرده اند.
اولین قدم ها را در زمین های بکری گذاشته اند که دیگران ردپای آن ها را دنبال کرده اند.

اگر همه ی خوشنویسان را یک تن ، تصور کنیم و ابتدای و انتهای تاریخ خوشنویسی را هم سرگذشت تکامل آن یک ابر هنرمند ،
خوشنویسی یک هنر تجسمی می شود که یک هنرمند بزرگ دارد. کسی مثل یک سیمرغ که از سی مرغ بی نام و نشان ، نام و نشان گرفته باشد.

خود خوشنویسان راستین هم دغدغه نام و نشان ندارند. بسیاری از بزرگان این هنر ، پای آثار خود را امضا نمی کرده اند ، یا به "کَتَبَهُ حقیر" بسنده میکردند.
یا به نام کسی که اثر را برای او مینوشتند ...

هیچ خوشنویس بزرگی نمی تواند ادعا کند که روی شانه های میرعماد یا میرعلی و دیگر بزرگان ، نایستاده است.

خوشنویسی از جنس سلوک و صبر و سکوت است.

آسان به چشم می آید و سخت تماشا میشود.

حتی روی سنگ قبرها
زبان حالش این است که:

نگاهم کن زائر!
زمان درازی نگاهم کن
تا برای تو زیبا شوم... *

 

* یدالله رویایی

 

 

▫️ابداع خط نستعلیق را به میر علی تبریزی (درگذشت ۸۵۰ ه‍.ق) نسبت داده‌اند.
هر چند پیش از او نمونه هایی ابتدایی از نستعلیق موجود است اما نقش میرعلی تبریزی در تدوین نستعلیق آنچنان مهم و اساسی بود که استادان بعدی از وی به عنوان ابداع کننده نام برده‌اند.

▫️در رساله‌های قدیمی خوشنویسی داستانی نقل شده که میرعلی ، شبی در خواب ، پرواز غازهای وحشی را دید و حرکات سیال نستعلیق را از حرکات نرم بدن این پرندگان الهام گرفت.
ممکن است این روایت قرین واقعیت نباشد
ولی اگر با دقت به ترکیب های نستعلیق نظر کنیم ، ترکیب هایی شبیه به پرنده در مفردات نستعلیق پیدا میشود. مثلا "حـ" که شبیه به نیمرخ سر یک مرغ است یا "ر" که شبیه به نمای کاملی از یک پرنده دیده میشود.

❓زیبایی خط نستعلیق فقط برپایه شهود زیبایی پدیده آمده ، یا نظم هندسی و ریاضی هم درکار بوده است؟

▫️سال ها قبل از ابداع نستعلیق (نزدیک به 1000 سال پیش)، خوشنویس بزرگ "ابن مقله شیرازی" که ابداع کننده خطوط ششگانه (مُحَقَّق - ریحان - ثُلث - نسخ - رِقاع و توقیع) است اصول دوازده گانه ای را برای خوشنویسی تعریف کرد:

ترکیب - کرسی - نسبت - ضعف - قوت - سطح - دور - صعود مجازی - نزول مجازی - اصول - صفا و شأن

این ها قواعدی بودند که اجرای درست آن ها منتهی به آفرینش زیبایی در اثر میشد.

▫️اما کشف و پیاده کردن همین قواعد هم جز بوسیله ی حس زیبایی شناسی هنرمند صورت نمیگرفته.
این که کرسی باید کجا قرار بگیرد ، و نسبت بین ضعف و قوت چقدر باشد ، از دل حساب و کتاب ریاضی و هندسی بیرون نیامده
هرچه بوده انتخاب شهودی و ذوق زیباپسند هنرمندان بوده است.

بویژه دو قاعده ی آخرین ، یعنی صفا و شان ، که دیریاب ترین و والاترین مرتبه خوشنویسی هستند.

▫️با این حال نستعلیق را تا حدودی به زبان هندسه و ریاضی هم میتوان تحلیل کرد و توضیح داد...

▪️درخت به دلایل مختلف همیشه مورد توجه انسان بوده. چه در ادیان ، چه در ادبیات ، در هنر ، فلسفه ، عرفان ، روانشناسی ، ریاضیات ،هندسه....
انگار که درخت یک کتابچه خلاصه شده از ساختار آفرینش باشد.

حالا یک نگاه فقط هندسی به درخت داشته باشیم...

▪️درخت یک ساختار هندسی است که در فضا گسترش پیدا کرده.

▫️آن را ساده تر میکنیم و برگ ها و میوه هایش را در نظر نمیگیریم

▫️بازهم ساده تر و به یک تصویر دو بعدی از آن بسنده میکنیم.

▫️باز هم ساده تر و خطوط یک بعدی را از سایه های دو بعدی بیرون میکشیم.

▫️آنچه میماند مجموعه از خطوط راست و شکسته است که از هم منشعب شده اند.

در ابتدا یک خط که ساقه است | بعد چند شاخه اصلی که هرکدام از جایی جدا شده اند | شاخه های فرعی از چند شاخه اصلی | شاخه های فرعی تر از شاخه های فرعی | و...

نسبتی که بین شاخه فرعی و شاخه ی اصلی هست ، بین شاخه اصلی و ساقه هم وجود دارد،
جزء ، کل را نشان میدهد.

و این هندسه ی برخالی یا فرکتالی است...

برخال یا فرکتال ، ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است.

▫️برخال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود.

▫️اشکال در هندسه اقلیدسی حد معینی دارند ولی فرکتال ها حد و اندازه ندارند.

▫️زمان ، در هندسه اقلیدسی مفهومی ندارد ولی برخال ها چون قابل تکامل هستند ، حافظه دارند، شکل شان به گذشته شان بستگی دارد.

 

▫️ هندسه اقلیدسی و اشکال ساده اش (مثل دایره ، مربع ، کره ، مخروطی و ...) برای درک و تحلیل اشکال طبیعت کافی نیستند.
▫️زبان هندسه اقلیدسی برای درک هندسه یک درخت یا موج های دریا ، پستی و بلندی کوه ها ، برگ های گل و .... بسیار سنگین و وقت گیر و غیر به صرفه است.

▫️شکل یک درخت از نظر هندسه اقلیدسی ، نسبتا پیچیده ، پر نقش ، و آشفته است. ولی از نگاه هندسه برخالی درخت جزو ساده ترین فرکتال هاست!

▫️نه فقط هندسه درخت ها ، بلکه رگبرگ های داخل یک برگ ، سطح مواج دریاها ، پستی و بلندی کوه ها و تپه ها ، لبه دریا ها ، شبکه رودهای متصل به یک رودخانه ، ابرها ، چروک های روی یک پارچه و .... همگی مثال هایی از فرم های فرکتالی هستند. چون همه این ویژگی را دارند که اجزای کوچکشان تفاوت چندانی با شکل کلی آن ها ندارد.

▫️حتی شباهت اجزا با کل ، بین ذرات کوچک سازنده طبیعت (که اتم ها هستند) تا یک مجموعه بزرگ و کلی (مثل منظومه شمسی) هم وجود دارد. انگار که منظومه شمسی یک اتم بزرگ است که هسته ی آن خورشید باشد و 9 الکترون (9 سیاره ) در مدارهایی به دور آن میگردند. باز هر کدام از این سیاره ها برای خودشون اقماری دارند ، پس خودشان میتوانند نقش هسته مرکزی را هم داشته باشند و ...

▫️هندسه فرکتالی توضیح دهنده همه ی نقش های طبیعی نیست ، ولی در کنار تقارن ها ، نسبت های طلایی ، ساختارهای مرکز گرا و ... از نظم هایی است که میتوان در منطق طبیعت پیدا کرد...

▫️ همانطور که از نامش پیداست ، در سه گانه ی |تناسب ، تشابه و تقارن | مفهوم نسبت طلایی از مقوله "تناسب" هاست.

▫️دو شکل ممکن است نسبت های مختلفی با هم داشته باشند.
مثلا دو پاره خط...
ممکن است یکی دو برابر دیگری باشد ، یا سه برابر و ...
یک مستطیل را میتوانیم به دو قسمت مساوی یا غیر مساوی تقسیم کنیم... طوری که یک قسمت دو برابر دیگری باشید ، یا هر نسبت دیگری...

❓اگر وجه این تناسب، زیبایی بصری باشد ، کدام تقسیم از همه متناسب تر است؟
▫️طبیعت ، تاریخ معماری ، پیکرتراشی ، سفالگری ، نقاشی ، گزینش های ناخودآگاه انسان ها و ... نسبتی را که به نسبت طلایی معروف شده پیشنهاد میکنند...

▫️این نسبت هم مانند عدد پی ، اعشار بی نهایتی دارد...
به این ترتیب که در تقسیم با نسبت طلایی ، اگر قسمت کوچکتر بزرگی ای برابر با 1 داشت ، قسمت بزرگ تر ، بزرگی ای برابر با :
۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸ ...
خواهد داشت.

▫️اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Proportion) تألیف کرد. در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.
مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد. دلیل این امر آن است که این نسبت در شبکیه چشم انسان رعایت شده و هر مستطیلی که این نسبت را دارا باشد به چشم انسان زیبا می آید...

 

✖️عدد 1.618033 از کجا آمده؟

▫️اگر پاره خط را از وسط نصف کنیم ، دو نیمه ی کاملا مشابه ، متقارن و هم اندازه خواهیم داشت ولی اگر با نسبت 1.68 تقسیم کنیم دو قسمت بدست آمده نه متشابه اند ، نه متقارن و نه هم اندازه!

❓با این حال چرا می گوییم نسبت طلایی ، تقسیم کامل تری است نسبت به دیگر تقسیم ها؟!

✔️راز تناسب طلایی ، در "تشابه" کل و جزء است.
اگر پاره خط یا مستطیل را از وسط به دو نیمه مساوی تقسیم کنیم ، هرچند این دو نیمه با هم مشابه و هم اندازه هستند ولی "کل" اولیه یعنی پاره خط قبل از تقسیم ، هیچ تناسبی با دونیمه ی خود نخواهد داشت.

▫️در تقسیم طلایی ، بجای اینکه همه ی توانمان را صرف بیشینه کردن همسانی دو جزء حاصل از تقسیم کنیم. یک زنجیره سلسه مراتبی از "جزء کوچکتر به جزء بزرگتر" و باز از "جزء بزرگتر به کل" بوجود می آوریم که میتوانیم آن را تا بی نهایت ادامه دهیم...

▫️به زبان ریاضی:
a/b=(a+b)/a
که در آن a جزء بزرگتر و b جزء کوچکتر است. به روش ریاضی هم اثبات میشود که این تناسب فقط وقتی ممکن است که حاصل هر دو کسر این معادله برابر مقدار ثابت... 1.61803 باشد...

 

[In reply to تُرَنج]
کاغذ معروف A4 مستطیلی به ابعاد 21*29.7 است.
اگر دو کاغذ A4 را طوری کنار هم قرار دهیم که ضلع بزرگترشان مجاور هم باشد ، به ابعاد کاغذ A3 میرسیم.
همینطور A2 و A1 و ...

در GIF بالا بجای مستطیل A4 از یک مربع 1*1 آغاز کرده ایم.

▫️در ابتدا هیچ مربعی در تصویر نیست - 0
▫️اولین مربع با ابعاد 1*1 ظاهر می شود - 1
▫️دومین مربع هم با طول ضلع 1 روی مربع قبلی قبلی قرار میگیرد - 1
▫️طول ضلع مربع سوم برابر است با ضلع بزرگتر مستطیل حاصل از جمع دو مربع قبلی - 2
▫️همینطور طول ضلع مربع چهارم = 2+1 = 3
▫️مربع پنجم= 5
▫️ششم = 8
▫️و ...

دنباله ای که از اعداد بالا بدست می آید یعنی:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , ...
این خاصیت را دارد که حاصل تقسیم هر عدد بر عدد قبلی همان عدد ... 1.61833 طلایی است.
البته در ابتدای دنباله ، این نسبت خطای زیادی دارد (مثلا 2/1=2 ) ولی هرچه جفت عدد متوالی تقسیم را از اعداد بزرگتر انتهایی دنباله انتخاب کنیم ، حاصل تقسیم به عدد طلایی نزدیک تر است. (233/144 = 1.61805)

▪️این دنباله را لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي تبار اهل پيزا حدود سال 1200 ميلادي معرفی کرد.
البته به شیوه دیگری...
او مساله ای را طرح کرد:
▫️شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شده‌اند .
▫️خرگوشها پس از یك ماه بالغ می‌شوند .
▫️دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
▫️هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتما باردار می‌شود .
▫️در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده مي‌زايد .
▫️خرگوش‌ها تا پايان سال نمی‌میرند .
❓در پایان هر ماه از سال چه تعداد خرگوش داریم؟

 

▫️روش ها و معادله های دیگری هم برای رسیدن به عدد طلایی ... 1.618 پیشنهاد شده،
برای مثال در تعریف عدد طلایی گفته اند:
▪️عددی است که حاصل جمع آن با یک برابر با مربع خودش باشد
یعنی اگر a+1=a^2 باشد a عدد طلایی است.

▫️اما همه ی این تعریف ها از همان تعریف اصلی نسبت طلایی ، یعنی اصل "تشابه در تناسب کل و جزء" گرفته شده و چیزی غیر از آن نیست.

مریم میرزاخانی تنها زن و تنها ایرانی برنده نشان فیلدز بود.
روح متفکرش شاد و یادش گرامی باد

میرزاخانی مدال فیلدز را برای حل معادلاتی در زمینه هندسه ریمانی گرفته بود.

▪️هندسه ریمانی ، یکی از هندسه های نااقلیدسی است که ویژگی مهم آن "خمیدگی فضا" است.

▫️ همان مثال همیشگی که دو خط موازی روی یک "صفحه مسطح" موازی هستند ، ولی این صفحه مسطح در هندسه نااقلیدسی بخش کوچکی از یک کره ی بزرگ است که اگر از بالا به او نگاه میبینیم که خیلی هم مسطح نیست و کاملا کروی است.
پس دو خط موازی مثل دو نصف النهار در قطب شمال و جنوب این کره به هم خواهند رسید و اصل توازی اقلیدس زیر سوال میرود.

▫️اما این مثال "خمیدگی سطح" را توصیف میکرد...هندسه ی ریمانی میگوید که فضا خمیده است!
خط در سطح و سطح در فضا خمیده میشود ...اما فضا کجا خمیده میشود؟
آیا منظور هندسه ریمانی این است که فضا در فضا خمیده میشود؟

▫️منظور از این خمیدگی همان خمیدگی در یک محیط با یک بعد بالاتر است.
در هندسه ریمانی فضای سه بعدی حول بعد چهارم خمیده است.

▫️در ریاضی دبیرستان با انتگرال ها کار میکردیم.
انتگرال یک عملگر ریاضی بود. کارش این بود که سطح محصور بین چند خط را محاسبه میکرد.
روش های معروف محاسبه مساحت (مثلا اینکه میگویم مساحت مربع برابر با ضلعش به توان دو است) در واقع خروجی های انتگرال هستند.

▫️اگر تعدادی خط یک بعدی به هم متصل باشند ، یک فضای دو بعدی را درون خود محصور میکنند.

▫️همینطور؛ اگر چند صفحه ی دو بعدی به هم متصل باشند هم یک فضای سه بعدی را درون خود محصور میکنند. و آن حجم توسط انتگرال های پیچیده تری بنام انتگرال دوگانه محاسبه میشد.

▪️حالا اگر چند حجم به هم متصل باشند چه چیزی را درون خود محصور میکنند؟
نمی توانیم بگوییم...
چون درک ما تا همین جاست. ما تجسم سه بعدی از فضا داریم...

▫️چشم ما از تجسم ما یک پله عقب تر است. چشم ما تصویر دو بعدی از محیط دارد. بخاطر همین است که تماشگران اولین فیلم در سینما با دیدن صحنه ی ورود قطار از سالن فرار کردند!
پرده ی سینما دو بعدی است...ولی قدرت تجسم تماشاگران بعد سوم را به آن اضافه کرد و قطار را واقعی جلوه دارد...
(در یکی از پست های قبلی درباره دلایل سه بعدی دیدن مطالبی نوشته شده بود)

▪️درست است که چشم دوبعدی و تجسم سه بعدی نمی توانند جواب سوال هندسه ی ریمانی را بدهند ، اما قدرت تعقل ما میتواند از این هم جلوتر برود...

عقل ریاضی میتواند به ابعاد بالاتر سفر کند و خبرهایی برای ما بیاورد...

▪️کار مریم میرزاخانی این بود که معادله های فضای خمیده ی ریمانی را در ابعاد بالاتر حل کرد.
البته که او تصوری از ابعاد بالاتر نداشته ولی از راه "تعمیم منطقی" یک سری قواعد، به محیط های چهاربعدی و بیشتر معادلات فضاهای خمیده را حل کرده بود.

در پست بعدی ، مثالی از یک تعمیم ساده از ابعاد پایینتر به ابعاد بالاتر آورده میشود...

پی.نوشت: تلاش برای تصور کردن یک شکل چهاربعدی کار بیهوده ایست،
ولی روش هایی برای تقریب ذهنی وجود دارد:
همانطور که ما سایه دو بعدی یک مکعب سه بعدی را در مانیتور میبینیم و فکر میکنیم مکعب است ، ریاضیدان ها (با استفاده از همان اصل تعمیم منطقی) سایه اشکال چهاربعدی را در احجام سه بعدی تولید کرده اند و گفته اند فکر کنید که این یک تسرکت (نام یک شکل چهاربعدی معروف) است.

✖️تناسب | تشابه | تقارن ✖️

▪️یک بازه از نسبت میان دو شکل هندسی را تصور کنیم:
▫️در یک سمت آشفتگی و گوناگونی و بی قاعدگی محض
▫️و در سوی دیگر همسانی و نظم و ثبات در بیشترین حالت ممکن یعنی وحدت و یگانگی مطلق

شکل های هندسی در بازه ای میان این دو قطب قرار میگیرند و طبیعتا ساختارهای نزدیک تر به قطب دوم بیشتر مورد توجه و تحلیل ما هستند.

▪️"تناسب"
درجه ای از همسانی بین دو شکل است
مفهوم تناسب از دو جهت یک مفهوم نسبی است.
▫️یکی از جهت "شدت و ضعف" در تناسب
مثلا یک مستطیل با ابعاد 4*1 شکل متناسبی با یک مربع است "اگر" رقبایش در این مقایسه دایره و بیضی و خط راست باشند.
ولی اگر لوزی یا یک مستطیل 2*1 بجای این ها وارد قیاس ما شوند نتیجه میگریم که مستطیل اولی، کمترین تناسب را با مربع دارد
▫️دوم از جهت "وجه تناسب"
چهار شکل دایره ، مربع ، مستطیل و بیضی را در نظر بگیریم:
نمی توانیم مطلقا بگوییم "مربع با مستطیل" و "دایره با بیضی" متناسب است. مگر اینکه "انحنا و بی گوشه بودن" وجه این تناسب باشد. اگر "کشیدگی و فاصله محیط تا مرکز" را وجه تناسب بگیریم آنگاه "مربع با دایره" و "مستطیل با بیضی" تناسب بیشتری دارند.

▪️"تشابه"
درجه بالاتری از همسانی بین دو شکل است.
▫️دو شکل متشابه اند وقتی کاملا با هم همسان باشند مگر از جهت بزرگی و کوچکی (اندازه)
و اندازه خودش یک مفهوم نسبی است.

- یک دایره با همه ی دایره های جهان متشابه است
- و هرنقشه ی دقیقی از ایران، هم با دیگر نقشه ها و هم با خود ایران زمین متشابه است
▫️تشابه حالت خاص تری نسبت به تناسب است
هر دو شکل متشابهی حتما با هم متناسب اند ولی هر دوشکل متناسب حتما با هم متشابه نیستند.

▪️"تقارن"
بر خلاف تشابه و تناسب ، تقارن یک مفهوم درونی است
هرشکل متقارنی نسبت به خودش متقارن است نه در قیاس با شکل دیگری

تقارن به دو صورت در اشکال پیدا میشود:
▫️تقارن محوری : مثلا بدن بیشتر موجودات زنده نسبت به محوری در امتداد گرانش زمین متقارن است
▫️تقارن مرکزی: مثلا مستطیل نسبت به دو محور عمودی و افقی تقارن دارد ولی نسبت به هیچ نقطه ای تقارن مرکزی ندارد. بر خلاف دایره و مربع که نسبت به نقطه مرکزی خود هم متقارن هستند.

▪️این سه مفهوم کلی "تناسب ، تشابه و تقارن" بخش عمده ای از نظم و ساختاریافتگی های هندسی و طبیعی را توجیه میکنند البته نظم ها و ساختارمندی های دیگری هم وجود دارند که مصداق هیچ کدام از این سه مفهوم نیستند.

حتی بی نظمی های منظم ! هم در طبیعت، ریاضیات و هندسه مطرح اند.
برای مثال ارقام اعشاری عدد پی ، به ظاهر هیچ نظم و ترتیب و منطقی در تولید آن ها مشاهده نمی شد ولی در واقع همه ی آن ها تابع یک قاعده مهم بودند و آن قانون، نسبت میان محیط و قطر دایره بود. پس آنجا هم بی نظمی و بی قاعدگی مطلقی درکار نبود.

از نگاه هندسه نااقلیدسی ، قواعد هندسه مسطحه (دوبعدی) در شرایط خاصی درست هستند.

▫️دو خط موازی به هم نمیرسند ، "به شرط اینکه" خودشان در صفحه ی مسطحی قرار گرفته باشند.

▫️هندسه نا اقلیدسی معتقد است ما صفحه ی تا بی نهایت مسطح نداریم ، هر صفحه مسطحی بخاطر این مسطح به نظر میآید که جزء کوچکی از پوسته یک کره ی بسیار بزرگ است.
همینطور خط تا بی نهایت ممتد هم نداریم ، هر خط راستی قطاع کوچکی از یک دایره بسیار بزرگ است.

▫️پس "چرخه زاد" ما که از غلتیدن یک دایره روی خط راست زاده میشد و ابتدا و انتهایش یک معما بود در واقع روی محیط یک دایره بسیار بزرگ در حال غلتیدن است...

▫️پس شعاع آن دایره هم مثل a , b میتواند یک متغیر برای شکل دادن به چرخه زاد باشد.
حالا که دایره ی کوچک چرخه زاد در حال غلتیدن روی محیط یک دایره دیگر است می تواند درون یا بیرون دایره ی بزرگ تر قرار بگیرد. و به این ترتیب "درون چرخه زاد" یا "برون چرخه زاد" تولید کند.

▫️گاه با اندکی تغییر در شعاع دایره غلتنده یا شعاع دایره ی ثابت ، یا فاصله نقطه ای که ردپای آن ترسیم میشود نسبت به مرکز دایره غلتنده ، شکل کاملا متفاوتی از چرخه زاد بدست می آید.
بخاطر همین بی نهایت نقش متفاوت و دنیایی شگفت انگیز از انواع طرح های هندسی پدید می آید...
این چرخه زادهای دایروی hypotrochoids یا spirograph نامیده میشوند...

چرخه زاد | Trochoid |

چرخه‌زاد (trochoid) مکان هندسی نقطه‌ای واقع بر شعاع یک دایره یا امتداد آن است، وقتی دایره در طول خط راست ثابتی می‌غلتد.

بر فرض این‌که A نقطهٔ ثابتی در ارتباط با دایره باشد. اگر این دایره را روی خط راستی حرکت دهیم مسیری را که نقطه A روی صفحه ایجاد می‌کند، مسیر چرخه‌زاد یا مسیر محوری می‌گویند.

 

▫️فرض کنیم دایره ای به شعاع " a " داریم

▫️این دایره روی خط " L " می غلتد

▫️مرکز دایره روی مسیری حرکت میکند که موازی با خط L است.

▫️اگر ردپای حرکت نقطه P روی دایره را ترسیم کنیم به یک "چرخه زاد" میرسیم

▫️اگر بجای نقطه P هر نقطه ی دیگری ، درون یا برون دایره (به فاصله b از مرکز دایره) ، انتخاب کنیم و ردپای آن را ترسیم کنیم ، اشکال متفاوتی از چرخه زاد
بدست می آید .

▫️اگر a=0 باشد چرخه زاد یک دایره ی کامل است. اگر b=0 باشد چرخه زاد یک خط راست خواهد بود. اگر a=b باشد چرخه زاد ، به شکل نیم دایره های متوالی درمیآید...

▫️در لینک زیر با کم و زیاد کردن مقادیر a و b میتوان شکل های مختلف چرخه زاد را تولید کرد:

http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Trochoid

▪️ "گل زندگی" (FLOWER OF LIFE) یک نقش معروف هندسی است که از ترکیب دوایری با قطر یکسان ساخته میشود.

▫️نگاره ای است که می توان آن را در همه بناهای تاریخی بزرگ دنیا دید ، در بسیاری از فرهنگها و اسطوره های قدیم آن را نشانه آفرینش می دانند و معتقدند که آفرینش از این ذره نشات گرفته و با اندیشه خالق شکل گرفته است.

▫️این نقش در فرهنگ های مختلف از هزاران سال پیش ، از مصر باستان گرفته تا هند و چین ، در ترکیه و ... پیدا میشود.

▫️به این ترتیب که "بذر زندگی" (SEED OF LIFE) از ترکیب هفت دایره با قطر یکسان شکل میگیرد و با گسترش آن به "گل زندگی" (FLOWER OF LIFE) میرسیم.

▪️نقش "بذر زندگی" را به دو شیوه ی هندسی میتوان از یک دایره استخراج کرد:

1- یک دایره را 5 بار و هربار به میزان 60 درجه ، حول یک نقطه واحد روی محیط خودش دوران بدهیم. (تا اینجا با احتساب دایره اصلی 6 دایره تکرار شده داریم) و سپس دایره ای با قطر یکسان اما به مرکز همان نقطه واحد محیطی رسم کنیم. (هفتمین دایره)

2- دیگر اینکه ، یک نقطه روی محیط یک دایره را مرکز دایره دیگری با همان قطر قرار دهیم. سپس محل تلاقی محیط این دو دایره را مرکز دایره سوم بگیریم و این روند را تا ترسیم دایره ی هفتم ادامه دهیم.

 

 

▪️تناسباتی که از اتصال مرکز دایره ها یا محیط آن ها بدست می آید بر بسیاری از نقش های طبیعت منطبق است.

▫️از میان چند ضلعی ها ، "شش ضلعی" منتظم پرکاربرد ترین نقش طبیعی است.
در "بذر زندگی" هم (با اتصال مرکز به مرکز دایره ها) یک شش ضلعی منتظم نهفته است. که با دایره ی هفتم کامل شده.

▫️در گذشته های دور هم مبنای شمارش بشر بجای سیستم ده دهی که ده رقم دارد (و احتمالا از ده انگشت دست نشات گرفته) از سیستم دوازده دوازدهی استفاده میشده.
یعنی ارقام تک رقمی بجای ده رقم (0 تا 9) دوازده تا بوده اند.
ردپای مبنای دوازده تایی شمارش هنوز هم در ساعت ، در شمارش جینی (که یک دو جین 12 تاست) ، و در تقسیم بندی ماه های سال پیداست.
حتی 11 و 12 در زبان انگلیسی دو نام منحصر به فرد eleven و twelve دارند (برخلاف سایر اعداد دو رقمی که با پس وند teen نامگذاری شده اند.)

▫️واقعیت این است که مبنای 12 تایی با طبیعت انطباق بیشتری دارد. مثلا تعداد گل های 6 پر زیاد است. مثل گل نیلوفر که 12 گلبرگ معروف آن در حقیقت دو دسته 6 تایی از برگ هاست.
12 بر خودش ، 6 ، 4 ، 3 ، 2 و 1 بخش پذیر است ، در حالیکه 10 بجز خودش و یک ، تنها بر 5 تقسیم کامل میشود.
اگر حساب شمارش ما همچنان بر مبنای دوازده بود کمتر با اعداد اعشاری سر و کار پیدا میکردیم.
▫️در بسیاری از سنت های دینی هم 12 عدد مقدسی است.

▪️یک رمزگشایی محتمل برای این نقش باستانی همان روایت مشترک در عهد قدیم و جدید و قرآن است که خداوند آسمان ها و زمین را در شش روز (مرحله) آفرید. سپس روز هفتم را برکت داد و انسان در روز هفتم آفریده شد.
(البته در روایت قرآنی اشاره ای به روز هفتم که مختص انسان باشد نشده)

▪️یک رمز گشایی دیگر برای نقش "بذر زندگی " مفهوم "ترکیب طبایع" است.
بیشتر تفسیرهای باستانی ، هر چیز طبیعی را ترکیبی از چهار عنصر یا طبع می دانستند.
آب ، خاک ، هوا و آتش ...
هر چیزی غیر از این چهار عنصر ، ترکیبی از چهار طبع دیگر را در خود دارد.
( در رباعیات خیام هم اصطلاح "ترکیب طبایع" برای توصیف طبیعت بکار رفته: دارنده چو ترکیب طبایع آراست...)
امروز میدانیم که این تقسیم بندی چهارگانه در واقع تقسیم حالت های مختلف طبیعی است (گاز ، مایع ، جامد و پلاسما ).
هر دایره میتواند نماد یکی از عناصر چهارگانه باشد. که با یک ، دو یا حداکثر سه عنصر دیگر مخلوط شده و طبیعت را شکل داده است.
(در نقش گل زندگی هم هر دایره حداکثر با سه دایره دیگر فصل مشترک دارد)

آتش سرخ است
آب آبی است
زمین سبز
و هوا بی رنگ است.

مثلا یک گیاه در ناحیه ای از نقش قرار میگیرد که هر چهار دایره با هم اشتراک دارند ، چون گیاه چیزی از خاک ، چیزی از خورشید ، چیزی از هوا و چیزی از آب دارد که به گیاه کاملی تبدیل شده.
ولی یک تکه چوب خشک ، آب و هوا را از دست داده و با از دست دادن انرژی نهفته در خودش کم کم به عنصر خاک برمیگردد.

⭕️ دایره مکان هندسی نقاطی از صفحه است، که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه، مقدار ثابتی باشد.

▪️دایره کامل ترین و متقارن ترین اشکال است.
فقط دایره نسبت به بی نهایت قطری که از مرکزش میگذرد متقارن است.

▫️دایره عادلانه ترین شکل قابل تصور است. تمام نقاط محیطی دایره نسبت به مرکز، فاصله ی ثابتی دارند و این خاصیت در دیگر اشکل پیدا نمیشود. هیچ نقطه ای روی دایره نسبت به نقطه ی دیگر ، از هیچ جهتی تفاوت یا برتری یا کاستی ندارد.

▫️وقتی روی محیط دایره حرکت میکنیم ، به هیچ پرتگاه یا تغییر ناگهانی در مسیر نمیرسیم. البته انحنا وجود دارد ولی آهنگ خمیدگی محیط دایره کاملا ثابت و یکنواخت است.

▫️دایره آشناترین و پرتکرارترین شکل منظم، در محیط طبیعی است.

▪️دیگر اشکال (مستطیل و مربع و مثلث و ...) با اضلاع (یال) های خود تعریف میشوند و محیط هم که مجموع همان یال هاست براحتی قابل محاسبه است.
اما دایره با قطر تعریف میشود و محاسبه دقیق محیط دایره همیشه یک معما و چالش هندسی بوده است.

▫️از گذشته های دور ، میدانستند که محیط دایره اندکی بیشتر از سه برابر قطر آن است. ولی تعیین اینکه محیط دقیقا چه ضریبی از قطر است کار بسیار مشکلی بوده و هست.
▫️این ضریب به "عدد پی" معروف شده.
▫️▫️▫️
▫️"ژرژ-لوئی لکرک کنت دو بوفون" ؛ ریاضی‌دان، قرن هجدهم میلادی اهل فرانسه، یک روش تقریبی مبتنی بر حساب احتمالات برای محاسبه عدد پی ارائه کرد:
او گفت :
فرض کنیم روی یک صفحه کاغذ خطوطی موازی و به فاصله ای برابر با دو واحد {2} رسم کرده ایم.

سوزنی هم داریم که طول آن دقیقا برابر با واحد {1} است.

این سوزن را به دفعات (بیشتر از 300 بار) رها میکنیم تا روی کاغذ بیافتد.

تعداد کل دفعات رهاسازی را بر تعداد دفعاتی که امتداد سوزن ، یکی از خط های روی صفحه را قطع کند ، تقسیم میکنیم.

هرچقدر دفعات پرتاب را بیشتر کنیم ، نسبت حاصل به عدد پی نزدیک تر خواهد شد.
▫️▫️▫️

▫️اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.

▫️ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند. "جیمز گریگوری " برای پیدا کردن مقدار عدد پی فرمولی را پیشنهاد داد.
مشکل روش او این بود که برای محاسبه "عدد پی" تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از یک سری با هم جمع میشدند.
و برای محاسبه رقم هفتم اعشار ، صدمیلیون جمله! و برای محاسبه رقم هشتم ، باید یک میلیارد جمله!! با هم جمع میشدند.

▫️امروزه عدد پی ، توسط ابر رایانه ها تا میلیارد ها رقم اعشار محاسبه شده و اثبات شده است که این عدد پایان ندارد و دقت اعشاری اش هیچگاه متوقف نمیشود.

▪️با این توصیف ، شاهکار "غیاث الدین جمشید کاشانی" ، ریاضیدان ایرانی قرن نهم هجری ، مشخص میشود ، او در "رساله المحیطیه" که دربارهٔ دایره نوشت، عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز محاسبه کرد!! که تا 180 سال بعد از او ، کسی نتوانست آن را گسترش دهد.

✖️برای اینکه هر شکل یا هرچیزی به نظر بیاید ، بیننده باید در نقطه یا امتدادی غیر از محل آن شکل قرار بگیرد.

▫️ما یک نقطه را نمی بینیم، مگر آنکه در نقطه ای غیر از خود آن قرار گرفته باشیم.
باید در یک امتداد "یک بعدی" از یک نقطه بی بعد فاصله بگیریم و یک "خط" تشکیل بدهیم.

▫️باز اگر بیننده روی هر نقطه ای در امتداد یک بعدیِ یک خط بایستد ، آن خط را نمی بیند. بیننده باید از امتداد خط خارج شده و با آن یک "صفحه" را تشکیل بدهد.

▫️اگر در پهنه ی یک صفحه بایستیم و به اطراف نگاه کنیم ، هیچ چیزی از آن صفحه را نمی بینیم ، بیننده باید از پهنه ی آن صفحه خارج شده و با آن صفحه یک نسبت "سه بعدی" داشته باشد.

❓اما اگر بخواهیم با همین روند پیش برویم ... آیا برای دیدن یک حجم سه بعدی لازم است که بیننده در بعد چهارم بایستد؟

به نظر می آید که اینطور نیست!
یا شاید ما تصویر دو بعدی اجسام سه بعدی را می بینیم. مثل تخم مرغ فیلم بالا که دو بعدی بود و به نظر ما سه بعدی می آمد.

❔تصویری که ما با چشم خود می بینیم چه فرقی با یک عکس بسیار با کیفیت از همان منظر دارد؟

▫️یکی اینکه ما با دوچشم نگاه میکنیم که مثل دو لنز با فاصله ای بین 5 تا 6 سانتیمتر از هم ، دریافت جداگانه ی از محیط بدست می دهند که در قضاوت سه بعدی ما موثر است.

▫️ وقتی سرمان را میچرخانیم ، اشیا به نسبت فاصله ای که از ما دارند "نسبت" به هم تغییر موقعیت میدهند و به نظر می رسد که اشیای نزدیک بیشتر از اشیای دور حرکت می کنند.به این ترتیب "عمق" قرار گرفتن خود را آشکار میکنند.
(جالب اینکه با چرخاندن چشم به تنهایی این اتفاق نمی افتد)

▫️چشم ما هم مثل لنز دوربین تا حدی روی اشیا "فوکوس" میکند و نسبت وضوح و تاری اجسام هم نشان دهنده "عمق" قرار گرفتنشان نسبت به ما میشود.

▫️پرسپکتیو و کوچک تر بودن چیزها در فاصله های دورتر "عمق" را برای ما آشکار میکند.

▫️ما بواسطه سایه ها یا صرف دانستن اینکه چیزی پشت چیز دیگر است، از جاگیری چیزها در بعد سوم آگاه میشویم.

✔️به هرحال، در "درک" سه بعدی ما ، مقداری قضاوت عقلانی هم علاوه بر دریافت های بصری دخالت میکند.

✖️دو خط که در فضا هستند ، یکی از این سه حالت را نسبت به هم دارند:

▫️"موازی" هستند و کوتاه ترین فاصله بینشان در فضا مقدار ثابتی است.

▫️یا اینکه شبیه مسیرهای یک تقاطع غیر همسطح ، "متنافر" هستند و امتدادشان هیچگاه هم را قطع نمیکند.

▫️"متقاطع" اند و امتدادشان در یک نقطه به هم میرسد.

✖️با نگاه به این سه وضعیت ، صفحه را میتوان اینطور تعریف کرد:

اگر دو خط متقاطع در فضا داشته باشیم؛
▪️صفحه ، "مکان هندسی" همه خطوطی است که با خط اول موازی و با خط دوم متقاطع باشند.

تا اینجا از یک نقطه بی بعد ، به خط یک بعدی و از آن خط به صفحه دو بعدی رسیدیم. ولی فضای سه بعدی نیازی به تعریف کردن ندارد.
▪️فضا مکان هندسی همه ی نقاط است، بدون هیچ قید و محدودیتی!

▫️خط و صفحه و فضا بیکران اند. و ابتدا و انتهای آن یک معماست! که هیچ تصوری نمیتوانیم از آن داشته باشیم.

▫️ در گذشته های دور تصور مردم از زمین ، یک صفحه ی بزرگ و گسترده ی دو بعدی بود ، و این تصور مبهم سوالاتی را بوجود می آورد:

❔اینکه این صفحه کجا تمام میشود؟
❔زیر این صفحه گسترده چه خبر است؟ و اگر خبری هست تا کجا ادامه دارد؟
❔آسمانی که بالای این صفحه است تا کجاست؟

▫️تا اینکه فهمیدیم این صفحه ی بزرگ دو بعدی، در حقیقت حول محوری عمود بر خودش (خارج از پهنه ی خودش) خم شده و کره ای را تشکیل داده. پس دیگر دنبال مرزهای این صفحه بزرگ نگشتیم.

▫️همانطور که اگر یک خط را حول محوری خارج از امتداد خودش خم کنیم ، میتوانیم دایره ای بسازیم و مشکل بیکرانی خط را هم حل کنیم.

▫️مشکل "کران" برای خط یک بعدی ، فقط در یک صفحه دو بعدی برطرف میشود ، و باز معمای مرزهای یک صفحه دو بعدی در یک حجم سه بعدی قابل حل شدن است.

❓ممکن است این سوال پیش بیاید که اگر خط ، خم شود دیگر خط نیست! چون تعریف ما از خط همان خط راست بود...

✔️در واقع این خم شدن مربوط به خود خط نیست، مربوط به فضا یا صفحه ایست که خط در آن واقع شده.
وقتی ما در قطار نشسته ایم ، در عین حال که ثابت روی صندلی هستیم، در حقیقت با همان سرعت قطار در حال حرکتیم.
هرچیزی که روی زمین هست در حقیقت با سرعت گردش زمین در حال گردش است. راست بودن خط هم مثل ثابت بودن اشیا ، یک مفهوم نسبی است. در یک صفحه خمیده میشود خطی داشت که در عین صاف بودن به اندازه خمیدگی بستر خود خمیده باشد.

▫️همین واقعیت مبنای شکل گیری هندسه ی غیر اقلیدسی شده. در هندسه غیراقلیدسی مجموعه زوایای یک مثلث میتواند بیشتر از 180 درجه باشد! چون صفحه ی دوبعدی اقلیدس ، در حقیقت بخش کوچکی از پوسته کره ی زمین بوده! و اگر مثلث را به اندازه ی یک قاره بزرگ کنیم می بینیم که مجموعه ی زوایایش اندکی از 180 بیشتر است. یا دو خط موازی اقلیدس -که هیچ وقت تلاقی نداشتند- مثل نصف النهارهای زمین ، بالاخره در قطب ها به هم میرسند!

▫️ولی کره زمین، خودش در یک فضای بیکران سه بعدی تعریف شده و باز این مشکل هست که ❔بالاخره آخر این فضا کجاست؟ ❔بعد از آخرین ستاره ی موجود در کهکشان ها چه خبر است؟ شاید پاسخ این باشد که ✔️ فضای سه بعدی ای که ما درک میکنیم در ابعاد بالاتری محاط شده که برای ما قابل درک نیست...

▫️بویژه اینکه بسیاری از سوالات در فیزیک مدرن، با معادله هایی حل میشوند که در فضای بیش از 3 بعدی تعریف شده اند. و در عین حال جوابهایی بدست میدهند که در فضای سه بعدی صحیح هستند.
مثلا معادلات نظریه نسبیت در یک فضای 4 بعدی حل شده که سه بعد فضایی و یک بعد زمانی دارد. و نظریه ریسمان -از شاخه های فیزیک نظری- در یک فضایی 11 بعدی ! تعریف شده.

▫️البته ابعاد بالاتر را (اگر وجود داشته باشند) هیچ وقت نمیشود ترسیم یا تصور کرد. فقط روندها و قاعده هایی که در گذر از خط به صفحه و از صفحه به حجم صادق بودند، با روش های ریاضی به ابعاد بالاتر "تعمیم" داده میشود. یعنی آنها را فقط میتوانیم "تعقل" کنیم نه "ترسیم" و "تصور".

▪️هندسه ی اقلیدسی (1) از نقطه آغاز میشود...

▫️در تعریف نقطه:
برخی گفته اند: اولین اثر قلم روی کاغذ!
که البته تعریف خوبی نیست...
جدا از این که قلم و کاغذ معیارهای خوبی برای یک تعریف علمی نیستند ، اولین اثر قلم روی کاغذ هم در خوشبینانه ترین حالت یک دایره توپر کوچک است.
نقطه ای که "بُعد" داشته باشد ، نقطه نیست...

▫️اما "بُعد" چیست؟
واژه ای عربی است به معنی "دور بودن"
آنچه که امکان دور بودن چیزها از هم را ممکن میکند ، وجود داشتن واقعیتی بنام "فضا" ست.

▫️اما بعضی ها بر این باورند که چیزی بنام فضا وجود ندارد. "چیز" ها هستند که وجود دارند. و از مقایسه نسبی موقعیت آن ها با هم مفهوم فضا شکل میگیرد.
اگر "چیز"ی نباشد ، فضایی هم نخواهد بود.

▫️در مقابل عده ای دیگر میگویند:
اگر فضایی برای گسترش و انبساط نمی بود چه چیزی میتوانست وجود خارجی داشته باشد؟
یا اینکه اگر فضایی بین دو چیز وجود نداشته باشد ، آن دو چیز یکی میشوند و اصلا امکان و فرصت مقایسه بینشان نخواهد بود.

▪️در واقع فضا و اشیا دو مفهوم جدایی ناپذیر و چسبیده به هم هستند ، نمی توان یکی را بدون دیگری تصور کرد...

به هر حال ، نقطه بُعد ندارد ...پس نمیتواند به عنوان یک شی ء ، وجود خارجی داشته باشد
نقطه هیچ جا نیست در عین حال هر"جا"یی یک نقطه است ،
نقطه یک واقعیت مجرد و ذهنی است که در عین حال خارج از ذهن ما وجود دارد.
نقطه یک حالت حدی در جهان خارجی است که میتوان نسبتا به او نزدیک شد ولی هیچ وقت نمیشود دقیق به آن رسید.
▫️▫️▫️▫️▫️▫️▫️▫️

1- هندسه هایی هم هستند که بدون اینکه از نقطه آغاز شوند ، فضای خود را سامان داده اند...
مثلا نوعی از هندسه ی بی نقطه را تعریف کرده اند که از تلاقی صفحات بیکران و تحلیل فصل مشترک آن ها ، اشکال خود را تولید میکند...
در واقع، پله های هندسه کلاسیک را برعکس طی میکنند. از فضا به صفحه و از صفحه به خط و از تلاقی خط ها به نقطه میرسند...

▪️مفهوم "خط" ، دومین گام شکل گیری هندسه ی کلاسیک، بعد از نقطه است.

▫️در تعریف خط گفته اند که خط، "کشش" نقطه در یک "امتداد" خاص است.
اما "کشش" و "امتداد" از کجا آمدند؟ مفهوم این ها تقریبا با همان مفهوم خط یکی است.
با این حساب، این تعریف ، خط را با خود خط معرفی کرده و نمیتواند تعریف خوبی باشد...

▫️اما تعریفی که اقلیدس از خط ارائه کرده این است که:
"خط کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه در فضاست"
اینجا هم پیش نیاز تعریف خط ، مفهوم دیگری بنام "مسیر" شده
که باز فرق چندانی با خط ندارد جز اینکه میتواند راست نباشد.

▫️در هندسه مفهومی بنام "مکان هندسی" تعریف کرده اند.
"مکان هندسی به مجموعه نقاطی گویند که دارای خصوصیت مشترکی باشند"

▫️فرض کنیم دو نقطه در فضا وجود دارند. ما هم پرنده ای هستیم که در فضا آزادانه در حال چرخیدن و تماشا کردن این دو نقطه هستیم. در نظر ما این دو نقطه گاهی به هم نزدیک و گاهی هم از دورتر میشوند
در یک موقعیت خاص از پرواز ما، نقطه دوم، پشت نقطه اول پنهان میشود.
در اینجا پرنده، نقطه اول ، و نقطه دوم ، در مکان هایی هستند که خصوصیت مشترکی دارند ، هر کدام از این سه نقطه اگر جابجا شوند این نظم و وضعیت مشترک به هم میخورد.
تمام نقاطی از فضا که ظاهر شدنشان، این وضعیت خاص و مشترک را به هم نمیریزد، "مکان هندسی" خاصی را تعریف میکنند که به آن خط یا امتداد یا کشش میگوییم...

▫️برای خط هم مثل نقطه نمیتوان مصداق بارزی در جهان خارجی پیدا کرد...
خط ترین خط ها در دنیای خارج ، نهایتا یک مستطیل کشیده هستند که نسبت طول به عرضشان بسیار بسیار زیاد است...

▫️یونانیان باستان (که پدران دانش هندسه هستند) میگفتند که هندسه تماما یک دانش ذهنی و عقلانی است. و هرچه هم در منظر دید و روی صفحه کاغذ می آید ، تمثیل ها و تقریب هایی هستند برای اینکه منظورها منتقل شود.
اصل هندسه نه فقط روی کاغذ ، بلکه حتی در تصور ما هم نمیگنجد.
ما هیج وقت نمی توانیم یک نقطه ی کامل ، یا یک خط و صفحه کامل را حتی تصور کنیم. ما هندسه را ریاضی وار "تعقل" میکنیم نه "تصور". در مرحله ی بعد ، تقریبی از این مفاهیم عقلانی را "تصور" میکنیم و در پله بعدی تقریبی از این تصورات را روی کاغذ می آوریم و "حس" میکنیم.

▫️ در تعریف رسمی هندسه گفته اند:
شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی اشکال و ویژگیهای فضا سروکار دارد.

▫️هندسه علم به اندازه هاست...
خواه این اندازه ها منظم و مرتب شده باشند یا نه...
خواه این اندازه ها ، فاصله هایی در مکان باشند یا فاصله هایی در زمان...

▫️ولی تصوری که از هندسه در ذهن مردم بوده و هست ، اشکال منظم و قاعده مندی است که در کنار هم قرار گرفته اند.

پس در دل مفهوم هندسه ، مفهوم نظم هست...

▫️اما نظم چیست؟

اینطور گفته اند که:
نظم نوعى پیوند و همکارى است بین اجزاى یک مجموعه در راستاى تحقق هدفى معین

پس برای اینکه مفهوم نظم شکل بگیرد، ما به یک مجموعه (بیشتر از یک چیز) نیاز داریم
و به یک هدف و منظور که از بین بی نهایت چیدمان ممکن ، یکی را متناسب با آن انتخاب کنیم...

در هندسه ، این مجموعه ، مجموعه ی نقاط هستند.
و اگر از میان بی نهایت نقطه ی ممکن که در فضا حضور دارند ، دست به انتخاب آگاهانه ای بزنیم، میتوانیم مثلا نقاط محیطی یک دایره را انتخاب کنیم.
و آن دایره را از هرچه غیر از آن است ، متمایز کنیم...

▫️باز اینجا یک مفهوم تازه در میان آمد و آن "انتخاب" بود...

▫️انتخاب چیست؟
انتخاب یک ویژگی عقلانی در ماست ، که از ترکیب دو واقعیت "ادراک" و "اراده" پیدا میشود.

ادراک برای تشخیص تمایزها و تفاوت ها (مثلا درک اینکه دایره چیزی غیر از مثلث است) و اراده ای برای اینکه دایره را تصور کنیم و به هرچه غیر از آن است بی اعتنا باشیم.

چیستی اراده و ادراک هم یک موضوع فلسفی است که از حوصله بحث "هندسه" خارج است...

▪️به طور خلاصه
در دل مفهوم "هندسه" ، "نظم" هست. در ذات نظم "انتخاب" هست ، و انتخاب هم با "ادراک و اراده" معنی پیدا میکند.

به نام خداوند جان و خرد
کزین برتر اندیشه برنگذرد

خداوند نام و خداوند جای (1)
خداوند روزی ده ِ رهنمای

ز نام و نشان و گمان برترست
نگارنده ی بر شده پیکرست (2)

به بینندگان آفریننده را
نبینی ! مرنجان دو بیننده را (3)

نیابد بدو نیز اندیشه راه
که او برتر از نام و از جایگاه

سخن هر چه زین گوهران بگذرد
نیابد بدو راه، جان و خرد (4)

خرد گر سخن برگزیند همی
همان را گزیند که بیند همی (5)

خرد را و جان را همی سنجد اوی
در اندیشه ی سخته کی گنجد اوی؟ (6)

توانا بود هر که دانا بود
ز دانش دل پیر برنا بود

از این پرده برتر سخن‌گاه نیست
ز هستی مر اندیشه را راه نیست

ابیات از آغاز شاهنامه حکیم ابوالقاسم فردوسی

 

این ابیات علاوه بر اینکه آغازی بنام خدا برای این دفتر بودند ،
اشارتی هم به مفاهیمی داشتند که در بحث هندسه مطرح میشود.

"مکان" اساس شکل گیری هندسه است و فردوسی از خدواند نام و "جای" یاد میکند. (1)
"نام" نماینده عالم عقل و ادراک است و "جای" اشاره ای به هرچه زمانمند و مکانمند باشد.
خداوند "نگارنده" این هاست و از این ها برتر است.(2)

هندسه دانشی در عالم دیدنی هاست که آفریننده اش به چشم "بینندگان" نمی آید و دست اندیشه هم به او نمیرسد.(3)

با این توضیح که هر چیز که از این دو اقلیم (نام و جای) فراتر باشد ، فکر ما به او محیط نمیشود. (4)

اندیشه ما به چیزهای می پردازد که می بیند (5)

خداوند خرد و اندیشه ما را اندازه گیری کرده و سنجیده است ، چگونه فکری که آزموده و سنجیده شده است ، میتواند سنجنده و آزمون کننده ی خود را بسنجند؟(6)

با این همه سخن فردوسی ، سخن یک اندیشمند طبیعت اندیش محض نیست. چرا که او در کنار "جای" ، "نام" را هم عرصه ی جولان اندیشه میداند که اشاره به عالمی مجرد و برتر از مکانمندی است.